題目：輸入一個(gè)整形數(shù)組，數(shù)組里有正數(shù)也有負(fù)數(shù)。數(shù)組中連續(xù)的一個(gè)或多個(gè)整數(shù)組成一個(gè)子數(shù)組，每個(gè)子數(shù)組都有一個(gè)和。求所有子數(shù)組的和的最大值。要求時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。
例如輸入的數(shù)組為1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子數(shù)組為3, 10, -4, 7, 2，因此輸出為該子數(shù)組的和18。
如果不考慮時(shí)間復(fù)雜度，我們可以枚舉出所有子數(shù)組并求出他們的和。不過(guò)非常遺憾的是，由于長(zhǎng)度為n的數(shù)組有O(n2)個(gè)子數(shù)組；而且求一個(gè)長(zhǎng)度為n的數(shù)組的和的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。因此這種思路的時(shí)間是O(n3)。
很容易理解，當(dāng)我們加上一個(gè)正數(shù)時(shí)，和會(huì)增加；當(dāng)我們加上一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，和會(huì)減少。如果當(dāng)前得到的和是個(gè)負(fù)數(shù)，那么這個(gè)和在接下來(lái)的累加中應(yīng)該拋棄并重新清零，不然的話(huà)這個(gè)負(fù)數(shù)將會(huì)減少接下來(lái)的和?；谶@樣的思路，我們可以寫(xiě)出如下代碼：

討論：上述代碼中有兩點(diǎn)值得和大家討論一下：
• 函數(shù)的返回值不是子數(shù)組和的最大值，而是一個(gè)判斷輸入是否有效的標(biāo)志。如果函數(shù)返回值的是子數(shù)組和的最大值，那么當(dāng)輸入一個(gè)空指針是應(yīng)該返回什么呢？返回0？那這個(gè)函數(shù)的用戶(hù)怎么區(qū)分輸入無(wú)效和子數(shù)組和的最大值剛好是0這兩中情況呢？基于這個(gè)考慮，本人認(rèn)為把子數(shù)組和的最大值以引用的方式放到參數(shù)列表中，同時(shí)讓函數(shù)返回一個(gè)函數(shù)是否正常執(zhí)行的標(biāo)志。
• 輸入有一類(lèi)特殊情況需要特殊處理。當(dāng)輸入數(shù)組中所有整數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，子數(shù)組和的最大值就是數(shù)組中的最大元素。
方法二：編程之美2.14

另外一種從前往后遍歷的方法如下：

拓展問(wèn)題1：
如果認(rèn)為數(shù)組是環(huán)形的，即首尾相接(下標(biāo)n-1的元素后面的元素下標(biāo)為0)，求最大子段和。
解析：
我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題要比第一個(gè)問(wèn)題容易，有很多種方法解決。我介紹三種方法，但是其中一種我覺(jué)得有問(wèn)題，但卻作為《編程之美》這本書(shū)的一道練習(xí)答案，也可能是我理解錯(cuò)作者的算法了，一會(huì)慢慢討論。
方法一：
這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解一定是以下兩種可能。可能一：最優(yōu)解沒(méi)有跨過(guò)a[n-1]到a[0]，即原問(wèn)題，非環(huán)形數(shù)組?？赡芏鹤顑?yōu)解跨過(guò)a[n-1]到a[0]，新問(wèn)題。
對(duì)于第一種情況，我們可以按照簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法求得，設(shè)為max1；對(duì)于第二種情況，可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)組的最小子段和問(wèn)題，再用數(shù)組全部元素的和減去最小子段和，那么結(jié)果一定是跨過(guò)a[n-1]到a[0]情況中最大的子段和，設(shè)為max2。最終結(jié)果即為max1與max2中較大的那個(gè)。
例1：有數(shù)組6、-1、-6、8、2
求得max1=10，max2=16，則取較大的max2作為結(jié)果。
例2：有數(shù)組-6、8、2、6、-1
求得max1=16，max2=15，則取較大的max1作為結(jié)果。
可能有些同學(xué)會(huì)對(duì)為什么：數(shù)組元素“sum - 最小子段和 = 跨過(guò)a[n-1]到a[0]情況中的最大子段和”這一點(diǎn)有些疑問(wèn)。我們可以這樣理解：n個(gè)數(shù)的和是一定的，那么如果我們?cè)谶@n個(gè)數(shù)中找到連續(xù)的一段數(shù)，并且這段數(shù)是所有連續(xù)的數(shù)的和最小的，那么“sum-最小子段和”的結(jié)果一定最大。故求得：跨過(guò)a[n-1]到a[0]情況中的最大子段和。
完整代碼如下：

第一部分即求第一種情況的最大值max1（用變量Max代替），第二部分中最初tmp為最小子段和，然后tmp值為sum-tmp；最后Max取兩者較大的數(shù)。
方法二：
方法二將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)問(wèn)題：既然一段數(shù)的首尾可以相接，那么我們可以將數(shù)組復(fù)制，并接到自己的后面，然后我們求新數(shù)組的最大子數(shù)組的和，但這里要限制一個(gè)條件，就是最大子數(shù)組的長(zhǎng)度不可以超過(guò)n。這樣我們就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拓展問(wèn)題3了，我會(huì)在第三部分中介紹。
方法三：
方法三是《編程之美》這本書(shū)中介紹的，詳細(xì)見(jiàn)188頁(yè)，但是我覺(jué)得這種算法是錯(cuò)誤的，可能是我理解作者的思路有問(wèn)題，我將解法抄在下面，并舉出一個(gè)反例，有興趣討論的同學(xué)希望能給我留言。
摘自《編程之美》P188：
如果數(shù)組(A[0],A[1],A[2],......,A[n-1])首尾相鄰，也就是我們?cè)试S找到一段數(shù)字(A[i],A[i+1],......A[n-1],A[0],A[1],....,A[j])，使其和最大，怎么辦？
(1)解沒(méi)有跨過(guò)A[n-1] 到A[0] (原問(wèn)題)。
(2)解跨過(guò)A[n-1]到A[0]。
對(duì)于第2種情況，只要找到從A[0]開(kāi)始和最大的一段（A[0],…,A[j]）（0<=j<n），以及以A[n-1]結(jié)尾的和最大的一段（A[i],…,A[n-1]）（0<=i<n），那么，第2種情況中，和的最大值M_2為：
M_2=A[i]+…+A[n-1]+A[0]+…+A[j]
如果i <= j，則
M_2=A[0]+…+A[n-1]
否則
M_2=A[0]+…+A[j]+A[i]+…+A[n-1]
最后，再取兩種情況的最大值就可以了，求解跨過(guò)A[n-1]到A[0]的情況只需要遍歷數(shù)組一次，故總時(shí)間復(fù)雜度為O(N)+O(N)=O(N)。
解析：
分為兩種情況討論是沒(méi)有問(wèn)題的，但是對(duì)于第2種情況的解法我認(rèn)為是錯(cuò)誤的，反例：
求5個(gè)元素的數(shù)組6,-1,-6,8,2的最大子數(shù)組和：M_1為10，但是如果利用上面的方法，M_2求得的結(jié)果為9，因?yàn)閺腁[0]開(kāi)始和最大的一段即為A[0],…,A[n-1]為9，以A[n-1]結(jié)尾的和最大的一段（A[i],…,A[n-1]）為A[n-1]，由于這兩段有相交，故M_2= A[0]+…+A[n-1]。
最終結(jié)果為9，取兩種情況較大的，那么結(jié)果為10。但是正確結(jié)果明顯為16。
出現(xiàn)這種結(jié)果的原因：從A[0]開(kāi)始和最大的一段雖然求的沒(méi)有錯(cuò)，但是我們希望求得的結(jié)果并非是這一段，我們希望求得A[0]這一段，這樣就不會(huì)出現(xiàn)兩段相交的情況。
在第二部分中，我分析了兩個(gè)拓展問(wèn)題，后面兩個(gè)拓展問(wèn)題我會(huì)在第三部分中分析。
如果我上面有寫(xiě)的不對(duì)的地方或者你有更好的方法，希望能提出來(lái)，互相學(xué)習(xí)嘛。
拓展問(wèn)題2：
有一個(gè)整數(shù)數(shù)列，其中有負(fù)數(shù)、正數(shù)， 其中連續(xù)的幾個(gè)數(shù)求和，求和的絕對(duì)值最大的數(shù)字串。
分析
思路
最大子矩陣和