首先，約瑟夫環(huán)的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法為：
為了討論方便，先把問(wèn)題稍微改變一下，并不影響原意：?jiǎn)栴}描述：n個(gè)人（編號(hào)0~(n-1))，從0開(kāi)始報(bào)數(shù)，報(bào)到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開(kāi)始報(bào)數(shù)。求勝利者的編號(hào)。
我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)（以編號(hào)為k=m%n的人開(kāi)始）: 　　   k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 　　并且從k開(kāi)始報(bào)0。現(xiàn)在我們把他們的編號(hào)做一下轉(zhuǎn)換：
k --> 0 　　k+1 --> 1 　　k+2 --> 2
n-1 --> n-1-k     0--> n-k  
        ... ... 　　
k-3 --> n-3 　　k-2 --> n-2
序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　
序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　
變換后就完完全全成為了(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的子問(wèn)題，假如我們知道這個(gè)子問(wèn)題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個(gè)表把這個(gè)x變回去不剛好就是n個(gè)人情況的解嗎？??！變回去的公式很簡(jiǎn)單，相信大家都可以推出來(lái)：
∵ k=m%n; 　　
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的問(wèn)題的解？對(duì)，只要知道(n-2)個(gè)人的解就行了。(n-2)個(gè)人的解呢？當(dāng)然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個(gè)倒推問(wèn)題！好了，思路出來(lái)了，下面寫(xiě)遞推公式：
令f表示i個(gè)人玩游戲報(bào)m退出最后勝利者的編號(hào)，最后的結(jié)果自然是f[n].
遞推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
完整的實(shí)現(xiàn)代碼如下：