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篩選法的C++實現(xiàn)

來源:本站原創(chuàng)|時間:2020-01-10|欄目:C語言|點擊: 次

篩選法

介紹:
篩選法又稱篩法,是求不超過自然數(shù)N(N>1)的所有質(zhì)數(shù)的一種方法。據(jù)說是古希臘的埃拉托斯特尼(Eratosthenes,約公元前274~194年)發(fā)明的,又稱埃拉托斯特尼篩子。

具體做法是:先把N個自然數(shù)按次序排列起來。1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù),要劃去。第二個數(shù)2是質(zhì)數(shù)留下來,而把2后面所有能被2整除的數(shù)都劃去。2后面第一個沒劃去的數(shù)是3,把3留下,再把3后面所有能被3整除的數(shù)都劃去。3后面第一個沒劃去的數(shù)是5,把5留下,再把5后面所有能被5整除的數(shù)都劃去。這樣一直做下去,就會把不超過N的全部合數(shù)都篩掉,留下的就是不超過N的全部質(zhì)數(shù)。因為希臘人是把數(shù)寫在涂臘的板上,每要劃去一個數(shù),就在上面記以小點,尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后,這許多小點就像一個篩子,所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼篩”,簡稱“篩法”。(另一種解釋是當時的數(shù)寫在紙草上,每要劃去一個數(shù),就把這個數(shù)挖去,尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后,這許多小洞就像一個篩子。)

用C++實現(xiàn)篩選法:
以通過篩選法求100以內(nèi)的素數(shù)為例

復制代碼 代碼如下:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數(shù)組,是為了和自然數(shù)相對應(yīng),即:a[2]對應(yīng)自然數(shù)2
 for(i=2;i<100;i++)
     a[i]=1;//完成對數(shù)組的初始化操作
 for(i=2;i<100;i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對相應(yīng)的倍數(shù)進行排除
  }
 }
 //執(zhí)行輸出操作
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'\t';
 }
 cout<<endl;
 return 0;
}

一些思考和優(yōu)化
以前學習計算素數(shù)的算法的時候,有一個比較普遍的優(yōu)化的算法。

也就是用

復制代碼 代碼如下:

for(i=1;i<(j/2);i++)

或者
復制代碼 代碼如下:

for(i=1;i<sqrt(j);i++)//使用sqrt()函數(shù)需要引入math.h這個頭文件

來替代
復制代碼 代碼如下:

for(i=1;i<j;i++)

可以顯著的降低算法的復雜度

一開始直接使用,不知道是什么原理。后來看了看,原來原理是這樣的:

以sqrt(j)代替i為例

求素數(shù)最基本的方法,是用i去除以2到j(luò)-1之間的所有的整數(shù),如果有可以整除的情況,則不是素數(shù);如果都不可以整除,則是素數(shù)。

而i=sqrt(j)*sqrt(j)

我們用i去除以2到sqrt(j)之間的所有的整數(shù),這就可以覆蓋2到i-1之間的所有的整數(shù)。

設(shè)2<k<sqrt(j),則若j%k==0,則sqrt(j)<m=(j%k)<j-1。

也就是說,因為是除法運算求整除的運算,所以除以小的可以整除,可就是除以相應(yīng)的大的可以整除。

優(yōu)化之后的代碼:

復制代碼 代碼如下:

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數(shù)組,是為了和自然數(shù)相對應(yīng),即:a[2]對應(yīng)自然數(shù)2
 for(i=2;i<100;i++)
     a[i]=1;//完成對數(shù)組的初始化操作
 for(i=2;i<sqrt(100);i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對相應(yīng)的倍數(shù)進行排除
  }
 }
 //執(zhí)行輸出操作
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'\t';
 }
 cout<<endl;
 return 0;
}

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