最大子矩陣問題實例解析

來源：本站原創(chuàng)|時間：2020-01-10|欄目：C語言|點擊：次

問題：
求一個M*N的矩陣的最大子矩陣和。
比如在如下這個矩陣中：

擁有最大和的子矩陣為：

 9 2
-4 1
-1 8

其和為15。
思路：
首先，這個子矩陣可以是任意大小的，而且起始點也可以在任何地方，所以，要把最大子矩陣找出來，我們要考慮多種情況。
假定原始矩陣的行數(shù)為M，那么對于子矩陣，它的行數(shù)可以是1到M的任何一個數(shù)，而且，對于一個K行（K < M）的子矩陣，它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 M - K + 1 的任意一行。
例子：
對于上面的矩陣，如果子矩陣的行數(shù)是2，那么它可以是下面幾個矩陣的子矩陣：

 0 -2 -7 0
 9 2 -6 2

或者

 9 2 -6 2
-4 1 -4 1

或者

-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

在每一種情況里（我們這里有三種），我們還要找出一個最大的子矩陣，當然，這只是一種情況的最大子矩陣（局部最大），不一定是global最大。但是，如果我們知道每一種情況的最大，要找出global最大，那就小菜一碟兒了。
在講在一個特殊情況下求最大子矩陣之前，先講一個事實：
假設這個最大子矩陣的維數(shù)是一維，要找出最大子矩陣, 原理與求“最大子段和問題” 是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是從0開始到j的最大子段和。

Java實現(xiàn)示例：
假設原始矩陣為：[9， 2， -6， 2]，那么b[] = {9, 11, 5, 7}, 那么最大字段和為11，如果找最大子矩陣的話，那么這個子矩陣是 [9， 2]
求最大子段和的代碼如下：

public int maxSubsequence(int[] array) {
 if (array.length == 0) {
 return 0;
 }
 int max = Integer.MIN_VALUE;
 int[] maxSub = new int[array.length];
 maxSub[0] = array[0];
 
 for (int i = 1; i < array.length; i++) {
 maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i]; 
 if (max < maxSub[i]) {
 max = maxSub[i];
 }
 }
 return max;
 }

但是，原始矩陣可以是二維的。假設原始矩陣是一個3 * n 的矩陣，那么它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。如果是1*K，這里有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這里有兩種情況，子矩陣在第一、二行，子矩陣在第二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。
為了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設這個子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求“最大子段和問題” 又是一樣的了。
為了找出在原始矩陣里的最大子矩陣，我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況，也就是說，我們要考慮這個子矩陣有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一種情況下，我們都要把它所對應的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣（局部）。
比如，假設子矩陣是一個3*k的矩陣，而且，它的一行是原始矩陣的第二行，那么，我們就要在

 9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

里找最大的子矩陣。
如果把它上下相加，我們就變成了 4, 11, -10,1，從這個數(shù)列里可以看出，在這種情況下，最大子矩陣是一個3*2的矩陣，最大和是15.
為了能夠在原始矩陣里很快得到從 i 行到 j 行的上下值之和，我們這里用到了一個輔助矩陣，它是原始矩陣從上到下加下來的。
假設原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加后得到的矩陣是total，那么我們可以通過如下代碼實現(xiàn)：

int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
 total[i][j] += total[i-1][j];
 }
}

如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和，我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的范圍從1 到 matrix[0].length - 1。
有了這些知識點，我們只需要在所有的情況下，把它們所對應的局部最大子矩陣進行比較，就可以得到全局最大的子矩陣。代碼如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {
 
 int[][] total = matrix;
 for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
 total[i][j] += total[i-1][j];
 }
 }
 
 int maximum = Integer.MIN_VALUE;
 for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
 for (int j = i; j < matrix.length; j++) {
 //result 保存的是從 i 行 到第 j 行 所對應的矩陣上下值的和
        int[] result = new int[matrix[0].length];
 for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {
  if (i == 0) {
  result[f] = total[j][f];
  } else {
  result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];
  }
 }
 int maximal = maxSubsequence(result);
 
 if (maximal > maximum) {
  maximum = maximal;
 }
 }
 }
 
 return maximum;
 }

C語言相關的實現(xiàn)

題目

    題目描述：
    已知矩陣的大小定義為矩陣中所有元素的和。給定一個矩陣，你的任務是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩陣。
    比如，如下4 * 4的矩陣

    的最大子矩陣是

 9 2 
 -4 1 
 -1 8

    這個子矩陣的大小是15。
    輸入：
    輸入是一個N * N的矩陣。輸入的第一行給出N (0 < N <= 100)。
    再后面的若干行中，依次（首先從左到右給出第一行的N個整數(shù)，再從左到右給出第二行的N個整數(shù)……）給出矩陣中的N2個整數(shù)，整數(shù)之間由空白字符分隔（空格或者空行）。
    已知矩陣中整數(shù)的范圍都在[-127, 127]。
    輸出：
    測試數(shù)據(jù)可能有多組，對于每組測試數(shù)據(jù)，輸出最大子矩陣的大小。
    樣例輸入：
    4
    0 -2 -7 0
    9 2 -6 2
    -4 1 -4 1
    -1 8 0 -2
    樣例輸出：
    15

AC代碼

 #include <stdio.h> 
 #include <stdlib.h> 
  
 int main(void) 
 { 
  int i, j, h, k, n, max, sum, cur, matrix[101][101]; 
  
  while (scanf("%d", &n) != EOF) { 
   // 初始化接收矩陣 
   for (i = 0; i < n; i ++) { 
    for (j = 0; j < n; j ++) 
     scanf("%d", *(matrix + i) + j); 
   } 
  
   // 動態(tài)規(guī)劃(類似于一維數(shù)組連續(xù)最大子序列和) 
   max = matrix[0][0]; 
  
   for (i = 0; i < n; i ++) { 
    // i，j確定上下界 
    for (j = i; j < n; j ++) {  
     // 初始化 
     for (k = i, sum = 0; k <= j; k ++) 
      sum += matrix[k][0]; 
     if (sum > max) 
      max = sum; 
  
     for (h = 1; h < n; h ++) { 
      for (k = i, cur = 0; k <= j; k ++) 
       cur += matrix[k][h]; 
  
      if (sum >= 0) 
       sum += cur; 
      else 
       sum = cur; 
  
      if (sum > max) max = sum; 
     } 
    } 
   } 
  
   printf("%d\n", max); 
  } 
  
  return 0; 
 }

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