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C語言實(shí)現(xiàn)的排列組合問題的通用算法、解決方法

來源:本站原創(chuàng)|時(shí)間:2020-01-10|欄目:C語言|點(diǎn)擊: 次

盡管排列組合是生活中經(jīng)常遇到的問題,可在程序設(shè)計(jì)時(shí),不深入思考或者經(jīng)驗(yàn)不足都讓人無從下手。由于排列組合問題總是先取組合再排列,并且單純的排列問題相對簡單,所以本文僅對組合問題的實(shí)現(xiàn)進(jìn)行詳細(xì)討論。以在n個(gè)數(shù)中選取m(0<m<=n)個(gè)數(shù)為例,問題可分解為:

1. 首先從n個(gè)數(shù)中選取編號(hào)最大的數(shù),然后在剩下的n-1個(gè)數(shù)里面選取m-1個(gè)數(shù),直到從n-(m-1)個(gè)數(shù)中選取1個(gè)數(shù)為止。

2. 從n個(gè)數(shù)中選取編號(hào)次小的一個(gè)數(shù),繼續(xù)執(zhí)行1步,直到當(dāng)前可選編號(hào)最大的數(shù)為m。

很明顯,上述方法是一個(gè)遞歸的過程,也就是說用遞歸的方法可以很干凈利索地求得所有組合。

下面是遞歸方法的實(shí)現(xiàn):

復(fù)制代碼 代碼如下:

/// 求從數(shù)組a[1..n]中任選m個(gè)元素的所有組合。
/// a[1..n]表示候選集,n為候選集大小,n>=m>0。
/// b[1..M]用來存儲(chǔ)當(dāng)前組合中的元素(這里存儲(chǔ)的是元素下標(biāo)),
/// 常量M表示滿足條件的一個(gè)組合中元素的個(gè)數(shù),M=m,這兩個(gè)參數(shù)僅用來輸出結(jié)果。
void combine( int a[], int n, int m,  int b[], const int M )
{
 for(int i=n; i>=m; i--)   // 注意這里的循環(huán)范圍
 {
  b[m-1] = i - 1;
  if (m > 1)
   combine(a,i-1,m-1,b,M);
  else                     // m == 1, 輸出一個(gè)組合
  {  
   for(int j=M-1; j>=0; j--)
    cout << a[b[j]] << " ";
   cout << endl;
  }
 }
}

因?yàn)檫f歸程序均可以通過引入棧,用回溯轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的非遞歸程序,所以組合問題又可以用回溯的方法來解決。為了便于理解,我們可以把組合問題化歸為圖的路徑遍歷問題,在n個(gè)數(shù)中選取m個(gè)數(shù)的所有組合,相當(dāng)于在一個(gè)這樣的圖中(下面以從1,2,3,4中任選3個(gè)數(shù)為例說明)求從[1,1]位置出發(fā)到達(dá)[m,x](m<=x<=n)位置的所有路徑:
復(fù)制代碼 代碼如下:

1  2  3  4
    2  3  4
        3  4

上圖是截取n×n右上對角矩陣的前m行構(gòu)成,如果把矩矩中的每個(gè)元素看作圖中的一個(gè)節(jié)點(diǎn),我們要求的所有組合就相當(dāng)于從第一行的第一列元素[1,1]出發(fā),到第三行的任意一列元素作為結(jié)束的所有路徑,規(guī)定只有相鄰行之間的節(jié)點(diǎn),并且下一行的節(jié)點(diǎn)必須處于上一行節(jié)點(diǎn)右面才有路徑相連,其他情況都無路徑相通。顯然,任一路徑經(jīng)過的數(shù)字序列就對應(yīng)一個(gè)符合要求的組合。

下面是非遞歸的回溯方法的實(shí)現(xiàn):

復(fù)制代碼 代碼如下:
/// 求從數(shù)組a[1..n]中任選m個(gè)元素的所有組合。
/// a[1..n]表示候選集,m表示一個(gè)組合的元素個(gè)數(shù)。
/// 返回所有組合的總數(shù)。
int combine(int a[], int n, int m)
{  
 m = m > n ? n : m;

 int* order = new int[m+1];   
 for(int i=0; i<=m; i++)
  order[i] = i-1;            // 注意這里order[0]=-1用來作為循環(huán)判斷標(biāo)識(shí)
 
 int count = 0;                               
 int k = m;
 bool flag = true;           // 標(biāo)志找到一個(gè)有效組合
 while(order[0] == -1)
 {
  if(flag)                   // 輸出符合要求的組合
  {  
   for(i=1; i<=m; i++)                   
    cout << a[order[i]] << " ";
   cout << endl;
   count++;
   flag = false;
  }

  order[k]++;                // 在當(dāng)前位置選擇新的數(shù)字
  if(order[k] == n)          // 當(dāng)前位置已無數(shù)字可選,回溯
  {
   order[k--] = 0;
   continue;
  }    
 
  if(k < m)                  // 更新當(dāng)前位置的下一位置的數(shù)字         
  {
   order[++k] = order[k-1];
   continue;
  }
 
  if(k == m)
   flag = true;
 }

 delete[] order;
 return count;
}


下面是測試以上函數(shù)的程序:
復(fù)制代碼 代碼如下:

int main()
{
 const int N = 4;
 const int M = 3;
 int a[N];
 for(int i=0;i<N;i++)
  a[i] = i+1;

 // 回溯方法
 cout << combine(a,N,3) << endl;

 // 遞歸方法
 int b[M];
 combine(a,N,M,b,M);

 return 0;
}


由上述分析可知,解決組合問題的通用算法不外乎遞歸和回溯兩種。在針對具體問題的時(shí)候,因?yàn)檫f歸程序在遞歸層數(shù)上的限制,對于大型組合問題而言,遞歸不是一個(gè)好的選擇,這種情況下只能采取回溯的方法來解決。

n個(gè)數(shù)的全排列問題相對簡單,可以通過交換位置按序枚舉來實(shí)現(xiàn)。STL提供了求某個(gè)序列下一個(gè)排列的算法next_permutation,其算法原理如下:
1. 從當(dāng)前序列最尾端開始往前尋找兩個(gè)相鄰元素,令前面一個(gè)元素為*i,后一個(gè)元素為*ii,且滿足*i<*ii;

2. 再次從當(dāng)前序列末端開始向前掃描,找出第一個(gè)大于*i的元素,令為*j(j可能等于ii),將i,j元素對調(diào);

3. 將ii之后(含ii)的所有元素顛倒次序,這樣所得的排列即為當(dāng)前序列的下一個(gè)排列。

其實(shí)現(xiàn)代碼如下:

復(fù)制代碼 代碼如下:

template <class BidirectionalIterator>
bool next_permutation(BidirectionalIterator first, BidirectionalIterator last)
{
  if (first == last) return false;   // 空範(fàn)圍
  BidirectionalIterator i = first;
  ++i;
  if (i == last) return false;       // 只有一個(gè)元素
  i = last;                          // i 指向尾端
  --i;

 for(;;)
 {
  BidirectionalIterator ii = i;
  --i;
  // 以上,鎖定一組(兩個(gè))相鄰元素
  if (*i < *ii)                     // 如果前一個(gè)元素小於後一個(gè)元素
  {
   BidirectionalIterator j = last;  // 令 j指向尾端
   while (!(*i < *--j));            // 由尾端往前找,直到遇上比 *i 大的元素
   iter_swap(i, j);                 // 交換 i, j
   reverse(ii, last);               // 將 ii 之後的元素全部逆向重排
   return true;
  }
  if (i == first)                   // 進(jìn)行至最前面了
  {
   reverse(first, last);            // 全部逆向重排
   return false;
  }
 }
}


下面程序演示了利用next_permutation來求取某個(gè)序列全排列的方法:
復(fù)制代碼 代碼如下:

int main()
{
 int ia[] = {1,2,3,4};
 vector<int> iv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int));

 copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
 cout << endl;
 while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()))
 {
  copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
  cout << endl;
 }

 return 0;
}


注意:上面程序中初始序列是按數(shù)值的從小到大的順序排列的,如果初始序列無序的話,上面程序只能求出從當(dāng)前序列開始的后續(xù)部分排列,也就是說next_permutation求出的排列是按排列從小到大的順序進(jìn)行的。

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