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C語言科學(xué)計算入門之矩陣乘法的相關(guān)計算

來源：本站原創(chuàng)|時間：2020-01-10|欄目：C語言|點擊： 次

1.矩陣相乘
矩陣相乘應(yīng)滿足的條件：
(1) 矩陣A的列數(shù)必須等于矩陣B的行數(shù)，矩陣A與矩陣B才能相乘；
(2) 矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；
(3) 矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列元素對應(yīng)乘積之和，即

如：

則：

2. 常用矩陣相乘算法
    用A的第i行分別和B的第j列的各個元素相乘求和，求得C的第i行j列的元素，這種算法中，B的訪問是按列進(jìn)行訪問的，代碼如下：

void arymul(int a[4][5], int b[5][3], int c[4][3])
{
 int i, j, k;
 int temp;
 for(i = 0; i < 4; i++){
 for(j = 0; j < 3; j++){
  temp = 0;
  for(k = 0; k < 5; k++){
  temp += a[i][k] * b[k][j];
  }
  c[i][j] = temp;
  printf("%d/t", c[i][j]);
 }
 printf("%d/n");
 }
}

3. 改進(jìn)的算法
    矩陣A、B、C都按行（數(shù)據(jù)的存儲順序）訪問，以提高存儲器訪問效率，對于A的第i行中，第j列的元素分別和B的第j行的元素相乘，對于B中相同的列k在上述計算過程中求和，從而得到C第i行k列的數(shù)據(jù)，代碼如下：

void arymul1(int a[4][5], int b[5][3], int c[4][3])
{
 int i, j, k;
 int temp[3] = {0};
 for(i = 0; i < 4; i++){
 for(k = 0; k < 3; k ++)
  temp[k] = 0;
 for(j = 0; j < 5; j++){//當(dāng)前行的每個元素
  for(k = 0; k < 3; k++){
  temp[k] += a[i][j] * b[j][k];
  }
 }
 for(k = 0; k < 3; k++){
  c[i][k] = temp[k];
  printf("%d/t", c[i][k]);
 }
 printf("%d/n");
 }
}

這種算法很容易轉(zhuǎn)到稀疏矩陣的相乘算法。

PS：斯特拉森算法的實現(xiàn)
斯特拉森方法，是由v.斯特拉森在1969年提出的一個方法。

我們先討論二階矩陣的計算方法。
對于二階矩陣 

a11 a12 b11 b12 
A = a21 a22 B = b21 b22

先計算下面7個量(1) 

x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22); 
x2 = (a21 + a22) * b11; 
x3 = a11 * (b12 - b22); 
x4 = a22 * (b21 - b11); 
x5 = (a11 + a12) * b22; 
x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12); 
x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);

再設(shè)C = AB。根據(jù)矩陣相乘的規(guī)則，C的各元素為(2) 

c11 = a11 * b11 + a12 * b21 
c12 = a11 * b12 + a12 * b22 
c21 = a21 * b11 + a22 * b21 
c22 = a21 * b12 + a22 * b22

比較(1)(2)，C的各元素可以表示為(3) 

c11 = x1 + x4 - x5 + x7 
c12 = x3 + x5 
c21 = x2 + x4 
c22 = x1 + x3 - x2 + x6

根據(jù)以上的方法，我們就可以計算4階矩陣了，先將4階矩陣A和B劃分成四塊2階矩陣，分別利用公式計算它們的乘積，再使用(1)(3)來計算出最后結(jié)果。 

ma11 ma12 mb11 mb12 
A4 = ma21 ma22 B4 = mb21 mb22

其中 

a11 a12 a13 a14 b11 b12 b13 b14 
ma11 = a21 a22 ma12 = a23 a24 mb11 = b21 b22 mb12 = b23 b24 

a31 a32 a33 a34 b31 b32 b33 b34 
ma21 = a41 a42 ma22 = a43 a44 mb21 = b41 b42 mb22 = b43 b44

實現(xiàn) 

// 計算2X2矩陣 
void Multiply2X2(float& fOut_11, float& fOut_12, float& fOut_21, float& fOut_22, 
float f1_11, float f1_12, float f1_21, float f1_22, 
float f2_11, float f2_12, float f2_21, float f2_22) 
{ 
const float x1((f1_11 + f1_22) * (f2_11 + f2_22)); 
const float x2((f1_21 + f1_22) * f2_11); 
const float x3(f1_11 * (f2_12 - f2_22)); 
const float x4(f1_22 * (f2_21 - f2_11)); 
const float x5((f1_11 + f1_12) * f2_22); 
const float x6((f1_21 - f1_11) * (f2_11 + f2_12)); 
const float x7((f1_12 - f1_22) * (f2_21 + f2_22)); 
fOut_11 = x1 + x4 - x5 + x7; 
fOut_12 = x3 + x5; 
fOut_21 = x2 + x4; 
fOut_22 = x1 - x2 + x3 + x6; 
} 
// 計算4X4矩陣 
void Multiply(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& m1, const CLAYMATRIX& m2) 
{ 
float fTmp[7][4]; 
// (ma11 + ma22) * (mb11 + mb22) 
Multiply2X2(fTmp[0][0], fTmp[0][1], fTmp[0][2], fTmp[0][3], 
m1._11 + m1._33, m1._12 + m1._34, m1._21 + m1._43, m1._22 + m1._44, 
m2._11 + m2._33, m2._12 + m2._34, m2._21 + m2._43, m2._22 + m2._44); 
// (ma21 + ma22) * mb11 
Multiply2X2(fTmp[1][0], fTmp[1][1], fTmp[1][2], fTmp[1][3], 
m1._31 + m1._33, m1._32 + m1._34, m1._41 + m1._43, m1._42 + m1._44, 
m2._11, m2._12, m2._21, m2._22); 
// ma11 * (mb12 - mb22) 
Multiply2X2(fTmp[2][0], fTmp[2][1], fTmp[2][2], fTmp[2][3], 
m1._11, m1._12, m1._21, m1._22, 
m2._13 - m2._33, m2._14 - m2._34, m2._23 - m2._43, m2._24 - m2._44); 
// ma22 * (mb21 - mb11) 
Multiply2X2(fTmp[3][0], fTmp[3][1], fTmp[3][2], fTmp[3][3], 
m1._33, m1._34, m1._43, m1._44, 
m2._31 - m2._11, m2._32 - m2._12, m2._41 - m2._21, m2._42 - m2._22); 
// (ma11 + ma12) * mb22 
Multiply2X2(fTmp[4][0], fTmp[4][1], fTmp[4][2], fTmp[4][3], 
m1._11 + m1._13, m1._12 + m1._14, m1._21 + m1._23, m1._22 + m1._24, 
m2._33, m2._34, m2._43, m2._44); 
// (ma21 - ma11) * (mb11 + mb12) 
Multiply2X2(fTmp[5][0], fTmp[5][1], fTmp[5][2], fTmp[5][3], 
m1._31 - m1._11, m1._32 - m1._12, m1._41 - m1._21, m1._42 - m1._22, 
m2._11 + m2._13, m2._12 + m2._14, m2._21 + m2._23, m2._22 + m2._24); 
// (ma12 - ma22) * (mb21 + mb22) 
Multiply2X2(fTmp[6][0], fTmp[6][1], fTmp[6][2], fTmp[6][3], 
m1._13 - m1._33, m1._14 - m1._34, m1._23 - m1._43, m1._24 - m1._44, 
m2._31 + m2._33, m2._32 + m2._34, m2._41 + m2._43, m2._42 + m2._44); 
// 第一塊 
mOut._11 = fTmp[0][0] + fTmp[3][0] - fTmp[4][0] + fTmp[6][0]; 
mOut._12 = fTmp[0][1] + fTmp[3][1] - fTmp[4][1] + fTmp[6][1]; 
mOut._21 = fTmp[0][2] + fTmp[3][2] - fTmp[4][2] + fTmp[6][2]; 
mOut._22 = fTmp[0][3] + fTmp[3][3] - fTmp[4][3] + fTmp[6][3]; 
// 第二塊 
mOut._13 = fTmp[2][0] + fTmp[4][0]; 
mOut._14 = fTmp[2][1] + fTmp[4][1]; 
mOut._23 = fTmp[2][2] + fTmp[4][2]; 
mOut._24 = fTmp[2][3] + fTmp[4][3]; 
// 第三塊 
mOut._31 = fTmp[1][0] + fTmp[3][0]; 
mOut._32 = fTmp[1][1] + fTmp[3][1]; 
mOut._41 = fTmp[1][2] + fTmp[3][2]; 
mOut._42 = fTmp[1][3] + fTmp[3][3]; 
// 第四塊 
mOut._33 = fTmp[0][0] - fTmp[1][0] + fTmp[2][0] + fTmp[5][0]; 
mOut._34 = fTmp[0][1] - fTmp[1][1] + fTmp[2][1] + fTmp[5][1]; 
mOut._43 = fTmp[0][2] - fTmp[1][2] + fTmp[2][2] + fTmp[5][2]; 
mOut._44 = fTmp[0][3] - fTmp[1][3] + fTmp[2][3] + fTmp[5][3]; 
}

比較
在標(biāo)準(zhǔn)的定義算法中我們需要進(jìn)行n * n * n次乘法運算，新算法中我們需要進(jìn)行7log2n次乘法，對于最常用的4階矩陣： 　 原算法 新算法
加法次數(shù) 48 72(48次加法，24次減法)
乘法次數(shù) 64 49
需要額外空間 16 * sizeof(float) 28 * sizeof(float)
新算法要比原算法多了24次減法運算，少了15次乘法。但因為浮點乘法的運算速度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于加/減法運算，所以新算法的整體速度有所提高。

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本文標(biāo)題：C語言科學(xué)計算入門之矩陣乘法的相關(guān)計算

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